Na ilyen a végtelen nem szakaszos tizedestört.
�� A h�nyados lehet eg�sz sz�m, v�ges tizedes t�rt, �s v�gtelen szakaszos tizedes t�rt. V�gtelen szakaszos tizedes t�rt: a h�nyadosban a tizedesvessz� ut�n egy, vagy t�bb sz�mjegyb�l �ll� szakasz ism�tl�dik. A v�gtelen szakaszos tizedes t�rtet a szakasz els� �s utols� sz�mjegye f�l� tett ponttal jel�lhetj�k. A racion�lis sz�m tizedes t�rt alakja: Legyen � a racion�lis sz�m legegyszer�bb alakja. a, b eg�sz sz�mok, b ≠ 0 �s ( a;b) = 1. Az � racion�lis sz�m tizedes t�rt alakja: 1. ���� V�ges tizedes t�rt, ha a nevez� pr�mt�nyez�s alakj�ban csak 2 vagy 5, illetve 2 �s 5 pr�mt�nyez�k szerepelnek. 2. � a. ���� V�gtelen tiszta szakaszos tizedes t�rt, ha a nevez� pr�mt�nyez�i k�z�tt sem a 2, sem az 5 nem szerepel. A v�gtelen tiszta szakaszos tizedes t�rtben minden tizedes jegy ism�tl�dik. Pl. : 54, 325 325 325 325 �.. 2. b. V�gtelen vegyes szakaszos tizedes t�rt, ha a nevez� pr�mt�nyez�i k�z�tt a 2 �s/vagy 5-�n k�v�l m�s pr�msz�m is szerepel. A v�gtelen vegyes szakaszos tizedes t�rtben nem minden tizedes jegy ism�tl�dik.
Igy p. 0, 343434... tiszta szakaszos, 0, 25438348... vegyes szakaszos. Röviden ugy irjuk fel a szakaszos tizedes törtet, hogy a szakasz első és utolsó jegye fölé pontot teszünk. Az első: 0. 34, a második: 0. 25438. Minden szakaszos tizedes tört értéke közönséges törttel fejezhető ki. A szabály a következő: Tiszta szakaszos tizedes törtet közönséges tört alakjában oly módon állítunk elő, hogy számlálójának a szakaszt teszszük, nevezőnek pedig annyi 9-est, ahány jegyü a szakasz. : 0. 34 = 34/99. Vegyes szakaszos tizedes törtet pedig ugy alakítunk közönséges törtté, hogy a megelőző számmal egybeolvasott szakaszból kivonjuk a szakaszt megelőző részt, ez lesz a számláló; a nevezőbe pedig annyi 9-es jön, ahány jegyü a szakasz, mellé pedig annyi 0, ahány jegy a szakaszt megelőzi. 0. 25438 = 25438-25/99900 = 25413/99000. Ha a tizedes tört nem periodikus, akkor értéke nem fejezhető ki közönséges tört alakjában. Ilyenkor nem racionális számértékü, hanem irracionális.
A törttel két egész szám osztását jelöljük ki. Az osztás egyszerűen felírható törtalakba, de el is végezhető. Ilyenkor lehet, hogy tizedes törtet kapunk eredményül. A törtet megadhatjuk osztás alakjában, az osztás elvégzésekor tizedes tört lehet a hányados. Például:, mert. Vizsgáljuk meg, hogy milyen tizedes törteket kaphatunk két egész szám osztásakor! ;;; Látjuk, hogy van olyan, amikor az osztás véget ér. Olyan is van, amikor ismétlődő számjegyeket kapunk. Olyan is van, amikor nem egy ismétlődő számjegyből áll a hányados. esetén például az ismétlődő 3-asokat megelőzi egy 1-es. Az törtről nem látszik azonnal, de itt is vannak ismétlődő számok: 714285. Azért lehetünk benne biztosak, hogy ismétlődni fognak a számjegyek, mert a maradékok között is lesz ismétlődés, hiszen csak 6-féle maradék lehetséges. Az ismétlődő számsort szakasznak nevezzük, és úgy jelöljük, hogy kis pontot írunk a szakasz első és utolsó számjegye fölé. Ha csak egy számból áll a szakasz, akkor csak egy szám fölé írunk pontot.
A másik igen korai ismert irracionális szám a p, mint az egységsugarú kör félkerülete lehetett, de erről csak a XVIII. században tudták bebizonyítani, hogy irracionális. Először a \( \sqrt{2} \) -ről (az egységnyi hosszúságú négyzet átlójáról. ) bizonyították be ( Eukleidész), hogy irracionális.
Valós számoknak egy olyan alakja (leírási módja), amelyben valahány (véges számú) számjegy után, amelyeket esetleg előjel (mínuszjel) előz meg, tizedesjellel (vesszővel v. ponttal) elválasztva végtelen sok számjegy következik sorban egymás után, minden számjegy 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7. 8, 9 bármelyike lehet. Pl. 1428, 571428571428... (az 571428 számjegysorozat a vegtelenségig ismétlődik) 0, 123456789101112 1314151617181920... (a természetes számok köz nélkül egymas után írva). Az első végtelen tizedes tört racionális számot, a második irracionális számot ír le. Minden olyan végtelen tizedes tört racionális számot ír le, amely szakaszos, vagyis valamilyen számjegysorozat a végtelenségig ismétlődik benne, és minden olyan végtelen tizedes tört irracionális számot ír le, amely nem szakaszos. A szakaszos végtelen tizedes törtek közül azokat, amelyekben a 0 v. a 9 ismétlődik a végtelenségíg, véges tizedes tört alakban is le lehet írni (pl. 0, 99999... = 1, 00; 444, 5000... = 444, 5). A 0 kivételével minden ilyen számot kétféleképpen is lehet írni végtelen tizedes tört alakban, pl.
Ez a szócikk szaklektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi. Ha nincs indoklás a vitalapon, bátran távolítsd el a sablont! A tizedestört a valós számok (ℝ), főképp a nem egész számok egyik kanonikus (azaz gyakran alkalmazott és minden szám esetében majdnem teljesen egyértelmű) felírása. A kivételt a véges tizedestörtek alkotják. Bebizonyítható (például a Cantor-axióma felhasználásával), hogy tetszőleges r valós szám felírható a következő formában:, avagy, ahol s értéke 0 vagy +1 vagy -1 lehet (ez az r szám előjele); m egy természetes szám; a z és t sorozatok tagjai a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} halmazból valók; z m pedig nem 0, ha m > 0. A z i és t i számokat a szám számjegyeinek nevezzük (mégpedig tizedesjegyeinek – ugyanis más számrendszerekben is lehetséges a törtszámok felírása). A 10 i · z i szorzatok összege |r| egészrésze, a többi, tehát a 10 - i · t i szorzatok végtelen összege pedig |r| törtrésze. Korlátozott egyértelműsége [ szerkesztés] A fenti forma bármilyen s, z és t jegyek esetén kijelöl egyetlen valós számot, ám ez fordítva nem igaz, azaz egy számhoz több ilyen felírás is tartozhat.