Javasolta: Maga Péter (Budapest) B. 4519. Tegyük fel, hogy az ABCD tetraéder magasságvonalai az M ponton mennek át. A tetraéder köré írt gömb sugarát jelölje R. Mutassuk meg, hogy MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 =4 R 2. B. 4520. Legyenek a, b és c pozitív számok. Határozzuk meg az x, y, z nemnegatív változók értékét úgy, hogy az kifejezés értéke minimális legyen. Szöllősy György (Máramarossziget) feladata nyomán B. 4521. Az e egyenes AB szakaszának belső pontja C. Az AB, AC és CB szakaszokra az e ugyanazon félsíkjában emelt félkörök k 1, k 2 és k 3. A félkörök ívének felezőpontjai F 1, F 2 és F 3. A k 1 félkört belülről, a k 2 és k 3 félköröket kívülről érintő kör érintési pontja a k 1 félkörrel az E pont. Mutassuk meg, hogy az AB szakasz M felezőpontja, a C, F 1, F 2, F 3 és E pontok mind egy körön vannak. Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom) A-jelű feladatok A. 581. Adott a síkban két különböző sugarú kör, k 1 és k 2, és a körökön kívül fekvő O pont. Az O -ból k 1 -hez húzott érintők végpontjai P és Q, az O -ból k 2 -hez húzott érintők végpontjai R és S. A P, Q, R, S pontok különbözők.
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírás t. Feladat típusok elrejtése/megmutatása: K-jelű feladatok A beküldési határidő 2013. április 10-én LEJÁRT. K. 367. Julcsi iskolájában fagyiépítő versenyt rendeztek. A résztvevők 10 cm magas fagyitölcsérre építették a kompozíciót, egyesével egymásra helyezve a gombócokat. A gombócok eredetileg 4 cm átmérőjű gömb alakúak, de a rájuk helyezett gombócok deformálják őket, és minden egyes rajtuk levő gombóc miatt magasságuk 1 mm-rel csökken. A győztes fagyicsoda a tölcsér aljától a legfelső gombóc tetejéig 47, 5 cm magas volt, és a legalsó gombóc magasságának egyharmadáig volt a tölcséren belül. Hány gombócot sikerült egymásra építenie a győztesnek? (6 pont) megoldás, statisztika K. 368. Egy négyzet alakú papírlapot az oldalával párhuzamos vágással két egyforma részre vágtunk. Ezután az egyik darabot a rövidebbik oldalával párhuzamos két vágással három egyforma részre, a másik darabot pedig a hosszabbik oldalával párhuzamos két vágással három egyforma részre vágtuk.
(Az egy számjegyű napok írása a szokásnak megfelelően pl. 01. Szükség esetén a 9-es a 6-os elforgatásával is megkapható. ) Hányféleképpen tehetjük meg ezt, ha az egyes kockákon szereplő számok egymáshoz viszonyított helyzetét nem vesszük figyelembe? Javasolta: Balga Attila (Budapest) (3 pont) B. 4513. Egy egységnyi alapú, egyenlő szárú háromszög köré írt kör sugara szintén egységnyi. Az alappal párhuzamos átmérővel levágunk a háromszögből egy kisebb háromszöget. Adjuk meg a kis háromszög szárának és alapjának hosszát pontosan. B. 4514. Oldjuk meg a 36 a 4 + b 4 =9 c 4 +4 d 4 egyenletet az egész számok halmazán. Javasolta: Orosz Gyula (Budapest) (4 pont) B. 4515. Zseton bedobása után a játékautomata feldob egy szabályos játékkockát, majd megmutatja a dobás eredményét. Ezután választhatunk: vagy felvesszük a nyereményt - ami a dobott szám értékének 100-szorosa - és a játék véget ér, vagy újabb zsetont dobunk az automatába. Az utóbbi esetben a gép ismét dob, és a nyeremény a két dobott szám szorzatának a 100-szorosa.
A 2012. évi Kürschák-verseny 3. feladata nyomán A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted. Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben; Elküldheted postán a szerkesztőség címére: KöMaL Szerkesztőség Budapest 112, Pf. 32. 1518. (Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)
A kapott hat darab lap kerülete összesen 72 cm. Hány cm az eredeti négyzet kerülete? K. 369. Egy üzleti összejövetel elején mindenki mindenkivel névjegyet cserélt. György úr később csatlakozott a társasághoz. Mivel a megjelentek között volt olyan, akit ismert, ezért ő csak azoknak adott névjegyet, akiket nem ismert, viszont ő névjegyet már nem kapott senkitől sem. Így a gazdát cserélt névjegyek száma 12, 5%-kal nőtt a György úr érkezése előtti állapothoz képest. Hány fős lett a társaság György úr érkezése után? K. 370. Egy háromszög oldalai 4, 4 cm, 5, 5 cm és 7, 7 cm hosszúak. Egy hozzá hasonló háromszög egyik oldala 15, 4 cm. Mekkora lehet ennek a háromszögnek a kerülete? K. 371. Az x 3 +4 x 2 -7 x -10=0 egyenlet gyökei -5; -1 és 2. Mik a gyökei az ( x -3) 3 +4( x -3) 2 -7 x +11=0 egyenletnek? K. 372. Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzetbe az átlókkal párhuzamos egyenesekkel rajzoltunk egy keresztet az ábrának megfelelően. A kereszt határait alkotó, a négyzeten belül haladó vonalak a csúcsoktól azonos távolságra metszik a négyzet oldalait.
1a) Ha 3 részre vágtuk, akkor 2-szer vágtunk, ha a négyzet oldalhossza x, akkor 4 ilyen szakaszunk van, a négyzet másik oldalát 3 egyenlő részre vágtuk, így azok darabonként x/3 hosszúak, ezekből 6 van, tehát ezen szakaszok összege 4x+6*(x/3)=4x+2x=6x. Ha 1 téglalap kerülete 24 cm, akkor 3 téglalap kerülete 3*24=72 cm, viszont van 2 szakasz (a vágások), amiket kétszer számoltunk bele a kerületbe, ezért azokat le kell vonnunk, így 72-2x-et kapunk. A két kifejezés egyenlő egymással, így 6x=72-2x | +2x 8x=72 |:8 x=9, tehát a négyzet oldala 9 cm hosszú, kerülete ekkor 4*9=36 cm, területe 9*9=81, de ellenőriznünk is kell; a keletkezett szakaszok hossza így 4*9+6*(9/3)=36+18=54 cm. A téglalapok összkerülete 72 cm, ebből 18 cm lejön, mivel a középső két szakaszt kétszer számoltuk, így 54 cm-t kapunk, tehát jól számoltunk. b) Legyen az eredeti négyzet oldalhossza x, ekkor területe x*x=x². Ha 10%-kal növelték, akkor x+(x*10/100)=x+0, 1x=1, 1x lett egy oldala, vajd ezt ötödével csökkentették, tehát 1, 1x-(1, 1x/5)=1, 1x-0, 22x=0, 88x lett egy oldalhossza, így területe 0, 88x*0, 88x=0, 7744x².